Метод ортогоналізації на Delphi. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом ортогоналізації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь викоритовуючи метод ортогоналізації (теоретична частина даного методу містяться за посиланням Рішення СЛАР методом ортогоналізації). Інтерфейс головної форми розглядуваного delphi-проекту не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи признячені для рішення основної проблеми лінійної алгебри, а саме відшукання розв'язку лінійних систем. Тобто після запуску програми, на екраін появиться форма, в якій необхідно вказати розмірність системи, заповнити розширену матрицю коефіцієнтами при невідомих та елементами стовця вільних членів після чого шуканий розв'язок отримують скориставшись кнопкою "Розв'язати систему рівнянь".

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Читати повністю

Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) Метод ортогоналізації, яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів Метод ортогоналізації до матриці коефіцієнтів Метод ортогоналізації, в результаті система (1) набуде наступного вигляду:

Метод ортогоналізації

де Метод ортогоналізації — вектор-рядки (Метод ортогоналізації); Метод ортогоналізації — вектор-стовпець. Далі, систему векторів Метод ортогоналізації доповнимо додатковим вектором Метод ортогоналізації після чого, до отриманої  системи векторів Метод ортогоналізації застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи Метод ортогоналізації і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

Читати повністю

Реалізація алгоритму методу відображень (Хуасхолдера) в середовищі програмування Delphi

Delphi-проект призначений для розв'язку основної задачі лінійної алгебри, а саме розв'язку системи лінійних рівняняь (СЛАР) і використовує для цього метод відображення (Хуасхолдера). По своїй структурі метод Хуасхолдера близький до методу Гаусса, але виключення невідомих здійснюються з допомогою матриць відображення, тобто перетворення вихідної матриці до трикутного вигляду виконується з допомогою послідовного множення її на матриці відображення. Перевагою такого підходу є єдина схема обчислювального процесу, яка не залежить від структури матриці (яким чином обчислюються коефіцієнти матриць відображення можна знайти в теоретичній частині по методу Хуасхолдера, яка міститься за посиланням Рішення СЛАР методом Хуасхолдера).

Після запуску проекту, для отримання рішення системи від користувача вимагається ввести розмірність розширеної матриці (матриця остання колонка якої містить елементи стовпця вільних членів вхідної системи), заповнити її відповідними даними після чого натиснути кнопку "Розв'язати систему рівнянь". Результатом роботи програми є вивід у статусному рядку форми значень елементів вектора невідомих.

Читати повністю

Метод відображень. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу відображень (Хуасхолдера) при знаходженні розв'язку системи лінійних рівнянь Метод відображення складається з Метод відображення-го кроку (де Метод відображення — розмірність матриці), після виконання яких матриця Метод відображення системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходимо значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання Метод відображення-го кроку матриця коефіцієнтів Метод відображення і вектор вільних членів Метод відображення системи (1) набули наступного виду:

Метод відображення

Читати повністю

Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта-Мерсона

Метод Рунге-Кутта-Мерсона, являється оденійєю з модифікацій методу Рунге-Кутта четвертого порядку точності і відрізняється від нього можливістю оцінювати похибку на кожному кроці і в залежності від цього приймати рішення про зміну кроку інтегрування і таким чином значно скоротити час розв'язку диференціального рівняння. Для того, щоб розглянути даний алгоритм більш детально запишемо диференціальне рівняння виду:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

з початковою умовою Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Далі, задавши початковий крок інтегрування Метод Рунге-Кутта-Мерсона та точність Метод Рунге-Кутта-Мерсона, на кожному кроці обчислюємо коефіцієнти:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

після чого послідовні значення Метод Рунге-Кутта-Мерсона шуканої функції Метод Рунге-Кутта-Мерсона визначаються за наступною формулою:

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса в середовищі програмування Delphi

Програма знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь довільній розмірності методом Жордана-Гаусса. В основу алгоритму даного методу покладено ідею приведення матриці коефіцієнтів до діагонального вигляду. Слід зазначити, що перетворення, які здійснюються для приведення матриці коефіцієнтів до такого вигляду, необхідно проводити і для елементів стовпця вільних членів. В результаті виконання даного алгоритму, елементи стовпця вільних членів міститимуть значення, які являтимуться шуканим розв'язком системи. Більш детальну інформацію про метод Жордана-Гаусса можна знайти за посиланням розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса.

Після запуску програми перед Вами з'явитися робоче вікно програми, в якому, на сам перед, необхідно вказа розмірність системи (оскільки система розміру n на n потрібно ввести тільки одне число).

Метод Жордана-Гаусса на Delphi

Інтерфейс програми, яка для розв'язку СЛАР використовує алгоритм методу Жордана-Гаусса

Далі, заповнюємо матрицю коефіцієнтів та стовпець вільних членів (зображені у вигляді компонентів TStringGrid) відповідними даними, вибираємо модифікацію методу Жордана-Гагусса, після чого натискаємо кнопку "Розв'язати систему рівнянь".

Читати повністю

Метод Жордана-Гаусса. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса являється однією з модифікацій методу Гаусса і знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь з допомогою даного методу зводиться до перетворення вихідної системи до системи з одиничною або діагональною матрицею. Тобто основна відмінність між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що при реалізації останнього, елементи матриці обнулюються як під, так і над головною діагоналлю, а значення діагональних елементів стають рівними одиниці. В результаті даного перетворення елементи вектора вільних членів являтимуться шуканим розв'язком системи.

Розглянемо даний метод більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

метод Жордана-Гаусса

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з Метод Жордана-Гаусса циклів, в кожному з яких послідовно з допомогою Метод Жордана-Гаусса-го рядка виключаються елементи при невідомій Метод Жордана-Гаусса в кожному рядку матриці коефіцієнтів, крім Метод Жордана-Гаусса-го. Дана схема реалізується з допомогою наступних кроків:

Читати повністю