Розв'язок системи нелінійних рівнянь за методом градієнтного спуску

Основним недоліком методу Ньютона чи методу простої ітерації (послідовних наближень) при знаходженні розв'язку системи нелінійних рівнянь (СНР) являється процес вдалого вибору початкового наближення, при якому б ітераційний процес даних методів був збіжний. Для того, щоб уникнути даної проблеми, можна скористоатись будь-яким з оптимізаційних методів мінімізації функції багатьох змінних. Серед методів даної групи розглянемо метод найшвидшого спуску (градієнтний метод). Основна ідея даного методу полягає у зведенні задачі на знаходження розв'язку СНР до відшукання точки мінімуму функції декількох змінних, яка складається з суми квадратів функцій, які містяться в лівій частині рівнянь заданої системи.

Розглянемо даний процес більш детально. Для зручності, візьмемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь з двома невідомими:

Розв'язок системи нелінійних рівнянь

Далі, як було вище сказано, з функцій gradientnuj_metod_snar2 та порн системи (1) утворюємо нову функцію, яка приймає насутпний вигляд: gradientnuj_metod_snar4. Виходячи з того, що дана функція завжди є додатною, то для неї знайдеться деяка точка Розв'язок системи нелінійних рівнянь, така що gradientnuj_metod_snar6. Отже, якщо тим чи іншим способом вдається отримати точку, яка мінінізує функцію gradientnuj_metod_snar7 і якщо при цьому виявиться, що gradientnuj_metod_snar8, то виходячи з того, що

Читати повністю