Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Як нам відомо, метод Гаусса являється універсальним та найбільш використовуваним інструментом при рішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Проте це не єдина задача, для розв'язку якої використовується цей метод. У даному параграфі продемостріруємо застосування методу виключення невідомих Гаусса при обчисленні оберненої матриці (оберненою називається матриця, при множенні на яку вихідна матриця перетворюється на одиничну, тобто ). Практично цей найбільш простий спосіб обчислення оберненої матриці полягає в наступному: якщо взяти одиничну матрицю і провести над нею елементарні перетворення, які приводять квадратну невироджену марицю до одиничної, то в результаті матриця  перетвориться на обернену матрицю до матриці .

Розглянемо алгоритм приведення матриці  порядку до одиничної більш детально.

Отже, на першому етапі (прямий хід методу Гаусса), приведемо матрицю  до верхньої трикутної, елементи головної діагоналі якої рівні одиниці. Для цього, на першому кроці, помножемо перший рядок матриці  на число . В результаті отримаємо матрицю, елемент якої рівний одиниці. Далі, від елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка помножені на , від елементів третього віднімаємо елементи першого рядка помножені на і так далі. На -му кроці від елементів -го рядка віднімаємо елементи першого, помножені на . Зазначимо, що після виконання цих дій, матриця  прийме наступного вигляду:

Читати повністю

Знаходження оберненої матриці за допомогою розв'язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (реалізація в середовищі Delphi)

При вивченні курсу лінійна алгебра доволі часто доводиться стикатися з задачами, які тою чи іншому мірою пов'язані з процесом обчислення елементів оберненої матриці. Взагалі кажучи, розрахувати їх не представляє особливої складності, особливо якщо йдеться про матриці невеликої розмірності. Але якщо потрібні більш складні розрахунки або ретельна перевірка свого рішення, доцільніше скористатися програмним продуктом, розробленими спеціально для рішення задач такого типу.  Саме розгляду однієї з таких програм, а якщо бути більш точним, то delphi-програм і присвячений даний параграф.

Обернена матриця delphi

Головна форма розглядуваного delphi-проекту

Отже, графічний інтерфейс проекту являє собою стандартний набір компонентів Delphi. Зокрема були використані компоненти типу TPanle, TLable, TSpinEdit, TButtonTStringGrid і TStatusBar. Розглянемо призначення кожного з них більш детально.

Читати повністю

Обчислення елементів оберненої матриці за допомогою розв'язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ми вже знаємо, що матриці можна додавти і множити. У цьому сенсі вони схожі на числа. Проте, числа можна ще й ділити. Виявляється, що у матричному численні існує операція, що відповідає операції ділення в арифметиці, яку пов'язують з поняттям оберненої матриці. Розглянемо дане поняття більш детально. Отже, всім відома проста залежність, яку можна представити у наступному вигляді:

Ця залежність означає, що добуток будь-якого числа на обернене йому число дорівнює одиниці. У матричній алгебрі існує аналогічний зв'язок. Якщо матриця квадратна і невироджена (матриця, визначник якої відмінний від нуля), то для неї існує матриця, що позначається символом і називається оберненою матрицею до матриці , для якої справедлива наступна рівність:

Тобто, матриця , в деякому сенсі, аналогічна оберненому числу в арифметиці, проте процес обчислення оберненої матриці дещо складніший. Опишемо один з можлививх варіантів даного процесу, який базується на тому, що матриця  є розв'язком матричного рівняння , де .

Читати повністю

« Попередня сторінка