Використання методу релаксації для знаходження розв'язку СЛАР

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:
Метод релаксації

Для того, щоб розв'язати систему (1) методом релаксації (даний метод, як і методи простої ітерації та метод Зейделя відносять до ітераційних чисельних методів) необхідно переписати систему у зручному для релаксації вигляді, а саме перенести вільні члени в ліву частину і кожне рівняння системи розділимо на діагональний елемент Метод релаксації. Тоді система (1) прийме наступний вигляд:

Читати повністю

Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних засобами Delphi

Нехай дано рівняння Метод дотичних для якого потрібно знайти наближене значення кореня на відрізку [-2;2] методом дотичних з заданою точністю Метод дотичних (розрахункові формули для обчислення кореня за методом Ньютона містяться за посиланням - Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних). Розглянемо Delphi програму, з допомогою якої знаходимо шуканий розв'язок (зауважимо, що рівняння можна поміняти на своє виконавши відповідні зміни в тексті програми).

Читати повністю

Розв'язок систем з трьохдіагональною матрицею методом прогонки в середовищі програмування Delphi

Розглянемо програмну реалізацію ще одної модифікації методу Гаусса, а саме метод прогонки. Даний метод використовується для окремого випадку розрідженних систем, тобто для систем рівнянь з трьохдіагональною матрицею. Такі системи, найчастіше, зустрічаються при чисельному розв'язку крайових задач для диференціальних рівнянь (теоретична частина даного методу міститься на сторінціМетод прогонки. Розв'язок СЛАР методом прогонки).

Запускаємо проект, вибираємо кількість невідомих системи, заповнюємо матрицю і стовбець вільних членів даними. Знаходимо розв'язок з допомогою кнопки «Розв'язати систему рівнянь».

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi

Розглянемо програмну реалізацію ще одиного методу призначеного для знаходження розв'язку СЛАР — метод Зейделя. Даний метод є різновидом методу простої ітерації, а тому також відноситься до ітераційних чисельних методів. Так само, як і в методі ітераці, вихідна система Метод Зейделя. Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi повинна бути приведена до канонічного вигляду Метод Зейделя. Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi. Основна відмінніст даного методу полягає в тому, що для знаходження k+1-го наближення невідомої Метод Зейделя. Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi використовують вже обчислені раніше k+1-ші наближення невідомих Метод Зейделя. Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi(детальніша інформація про даний алгоритм міститься на сторінціНаближений розв'язок системи лінійних рівнянь за методом Зейделя).

Отже, запустимо Delphi проект на виконання і спробуємо з його допомогою знайти розв'язок наступної системи:

Метод Зейделя. Розв'язок СЛАР методом Зейделя в середовищі програмування Delphi

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом простої ітерації в середовищі програмування Delphi

Методи призначені для розв'язку СЛАР поділяються на точні та ітераційні. В основу точних методів покладено певне число арифметичних операцій, виконавши які отримуємо розв'язок системи (метод Гаусса, метод оберненої матриці та інші). Суть ітераційних методів, у свою чергу, полягає в тому, щоб з допомогою послідовних наближень отримати шуканий розв'язок з заданою точністю. Розгляенемо Delphi проект, який реалізує один з таких методів, а саме,  метод простої ітерації (більш детальну інформацію про даний метод можна знайти перейшовши на сторінку http://www.mathros.net.ua/?p=274) і з його допомогою знайдемо розв'язок наступної системи рівнянь:

Розв'язок СЛАР методом простої ітерації в середовищі програмування Delphi

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом LU — факторизації в середовищі програмування Delphi

Алгоритм метод LU факторизації в основному використовується при знаходженні розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax=b (1), обчисленні визначника, знаходженні оберненої матриці.

Сьогодні розглянемо програмну реалізації даного методу, з допомогою якої будемо знаходити розв'язок СЛАР. Отже, основна ідея даного методу — це подання матриці А у вигляді A=LU (L — нижня трикутна матриця з одиничною діагоналлю; U — верхня трикутна матриця). Тоді, рівняння  (1)можна записати у наступному вигляді: LUx=b (2). Припустимо, y=Ux, тоді рівняння (2) набуде виглядуLy=b. Звідси випливає, що шуканий вектор x можна знайти розв'язавши наступні рівняння: Ly=by=Ux (більш детальну інформацію ви зможете знайти перейшовши на сторінку Метод LU факторизації для розв'язування систем лінійних рівнянь).

Читати повністю

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса на Delphi

В математиці існує декілька способів знаходження оберненої матриці (за методом розв'язку відповідних СЛАРза методом Гаусса). Програмну реалізацію першого способу Ви можете знайти перейшовши на сторінку http://www.mathros.net.ua/?p=1257.  Сьогодні розглянемо програмну реалізацію другого,  тобто будемо шукати обернену матрицю за методом Гаусса, який відносять до точних чисельних методів.

Візьмемо дві матриці: A для якої потрібно знайти обернену, і одиничну матрицю, розмірність якої співпадає з розмірністю матриці А. Використовуючи метод Гаусса приведемо матрицю А до одиничної. Після застосування кожної операції до матриці А, потрібно застосувати ту ж операцію і до матриці Е. Якщо процес приведення заданої матриці до одиничноъ буде завершено, елементи матриці Е будуть рівні елементам оберненої.

Читати повністю

Наступна сторінка »