Обчислення визначника матриці методом Гаусса (реалізація в середовищі Delphi)

При розвя'занні задач з прикладної математики, доволі часто виникає необхідність в обчисленні  визначника матриці високого порядку. Проте, обчислення таких  визначників ручним способом є доволі трудоємким і складним процесом. Тому в даному параграфі нами буде розглянута delphi-програма, яка дозволяє обчислити визначник квадратної матриці, порядок якої не перевищує 10. При цьому використовується один з найбільш відомих чисельних методів, а саме метод Гаусса. Основна суть даного методу полягає в тому, що, на першому кроці, за допомогою елементарних перетворень задана матриця приводиться до еквівалентної їй матриці трикутного вігляду. Після цього, обчислення детермінанта зводиться до обчислення добутку діагональних елементів трикутної матриці.

Головна форма розглядуваного delphi-проекту

Як видно з рисунка, розроблений delphi-проект складається з однієї форми і наступних візуальних компонентів: таблиця типу TStringGrid (призначена для введення елементів квадратної матриці), редактор типу TSpinEdit (відповідає за розмірність матриці детермінант якої відшукується), текстова мітка типу TLable (використовується для пояснювальних підписів), дві кнопки TButton (призначені для обчислення визначника та підготовки delphi-програми до нового прикладу) і статусний рядка TStatusBar (призначений для виводу результатів роботи програми).

Читати повністю

Обчислення визначника матриці методом Гаусса

Розглядаючи розрахункові формули обчислення визначників матриці 2×2 та матриці 3×3 нами також було розглянуто, такзване, загальне правило обчислення визначників -о порядку. Проте, як видно з прикладу, навіть для матриць розмірність яких не перевищує чотири, дана схема являється довілі складною і вимагає великого обсягу обчислень. Проте, скориставшись відомим фактом, який говорить про те, що для обчислення визначників будь-якого порядку можна використовувати алгоритми точних методів, призначених для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, процес рішення задач такого типу можна значно спростити. Наприклад, результати перетворень прямого ходу методу Гаусса зводять матрицю до такої форми, яка дає змогу легко обчислити її визначник (визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів). Розглянувши деяку квадратну матрицю  розмірності  покажемо яким чином це реалізується.

Отже, згідно з алгоритмом методу Гаусса, для приведення матриці (1) до еквівалентної їй матриці трикутного вигляду, на першому етапі, замінимо другий, третій,..., -й рядки матриці , на рядки, які отримують в результаті додавання цих рядків до першого, помноженого на відповідно. Результатом виконання даного етапу буде матриця наступного вигляду:

Читати повністю