Модифікований метод Ейлера

Знову, розглянемо диференціальне рівняння виду:

139

Потрібно знайти наближений розв'язок даного диференціального рівняння на інтервалі [a,b], який задовільняє початковій умові 222. Для цього вибравши крок 512, розбиваємо інтервал на n частин:

611

Згідно з методом Ейлера, послідовні значення шуканого розв'язку обчислюються за наближеною формулою:

316

Читати повністю

Метод Ейлера для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Метод Ейлера — один з найпрстіших чисельних алгоритмів розв'язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданим початковим значенням тобто задачі Коші. Він є явним, однокроковим методом першого порядку точності, основна ідея якого полягає в тому, що інтегральна крива апроксимується кусочно-лінійною функцією, так званою ламаною Ейлера.

Метод Ейлера

Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Розглянемо даний процес більш детально. Для цього запишемо диференціальне рівняння наступного вигляду:

з початковою умовою і припустимо, що потрібно занйти його ровз'язок на деякому інтервалі . Для цього розіб'ємо заданий інтервал на частин з кроком .  В результаті отримаємо систему рівновіддалених точок:

Читати повністю

Обчислення визначених інтегралів методом Сімпсона

Для наближеного обчислення інтеграла за методом Сімпсона крива підінтегральної функції замінюється на відрізки квадратичних парабол, проведених через кінці кожних трьох сусідніх ординат значень функції 130. При цьому весь проміжок інтегрування розбивають на парне число з n відрізків 219. І таким чином, площу криволінійної трапеції наближено замінюємо на суму 314 площин під параболами.

610

Графічне представлення методу Сімпсона

Читати повністю

Обчислення визначених інтегралів методом трапецій

В основну ідею методу трапецій покладено заміну кривої підінтегральної функції на ламану. Цього можна досягнути наступним чином. Розділимо проміжок Метод трапецій на Метод трапецій рівних частин (довжина кожної частинки рівна 129), і сполучимо прямими лініями значення функцій на кінцях відрізків, тобто площу криволінійної трапеції наближено замінюємо на суму площин Метод трапецій трапецій.

217

Графічне представлення методу трапецій

Читати повністю

Обчислення визначених інтегралів методом прямокутників

Нехай  на відрізку Метод прямокутників задана неперервна функція 127. Потрібно обчислити методом прямокутників інтеграл:

216

Для цього розбиваємо проміжок інтегрування Метод прямокутників на Метод прямокутників рівних частин. Задану функцію 312 на кожному відрізку 410 замінюють на пряму лінію, паралельну до осі абсцис. У результаті криволінійна трапеція замінюється на Метод прямокутників прямокутників.

Читати повністю

Метод простої ітерації для розв'язання одного нелінійного рівняння

Метод простої ітерації (також відомий як метод послідовних наближень) є одним з найбільш важливих способів чисельного розв'язання рівняня. Основна ідея даного методу полягає в тому, що ми замінюємо рівняння Метод ітераціїрівносильним йому рівнянням виду:

Метод ітерації

При цьому вважаємо, що Метод ітерації є неперервною на проміжку Метод ітерації.

Оберемо, довільним чином, наближене значення кореня Метод ітерації і підставимо його в праву частину рівняння (1) . Тоді отримаємо число:

Метод ітерації

Підставивши, тепер в праву частину рівняння (2) замість Метод ітераціїчисло metod_iteracii_nelin_rivn7, отримаємо нове число Метод ітерації і так далі продовжуємо даний процес. В результаті отримаємо послідовність чисел:

Метод ітерації

Якщо отримана послідовність збіжна, тобто існує Метод ітерації, то переходячи до границі в рівнянні (3) отримаємо:

Метод ітерації або Метод ітерації,

тобто границя Метод ітераціїє коренем рівняння (1) з довільним степенем точності.

Читати повністю

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

де коефіцієнти і є заданими, а вектор  — називається розв'язком системи (1).

Якщо визначник даної системи не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами:

Читати повністю

Наступна сторінка »