Наближене розв'язання системи лінійних рівнянь методом Зейделя

Метод Зейделя представляє собою модифікацію методу ітерації, основна ідея якого полягає в тому, що при обчисленні -го наближення невідомої , враховуються вже обчислені -ші наближення невідомих .

Розглянемо даний процес більш детально. Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Довільним чином, виберемо початкові наближення розв'язку , намагаючись, щоб вони якоюсь мірою відповідали шуканим невідомим .

Читати повністю

Наближений розв'язок системи лінійних рівнянь методом простої ітерації

При великому числі невідомих у системі лінійних рівнянь, схема методу Гауса, яка дає точний розв'язок, стає досить складною. У цих умовах, для розв'язку системи лінійних рівнянь, доцільніше використовувати наближені чисельні методи. Одним з таких методів є метод простої ітерації (метод послідовних наближень).

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Припускаючи, що діагональні коефіцієнти , розв'яжемо перше рівняння системи відносно , друге — відносно і так далі.

Читати повністю

Метод LU факторизації для розв'язування системи лінійних рівнянь

Ідея методу LU-факторизації, при знаходженні розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, базується на наступному твердженні: будь-яку квадратну дійсну матрицю (матриця коефіцієнтів при невідомих) можна розкласти на дві трикутні — верхньотрикутну унімотарну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, а елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці) та нижньотрикутну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю) і таким чином спростити процес відшукання коренів. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, систему лінійних алгебраїчних рівнянь запишемо у матричній формі:

де квадратна матриця порядку і

вектори стовбці. Згідно вище сказаному, матрицю представимо у вигляді добутку нижньотрикутної матриці і верхньотрикутної матриці з одиничною діагоналлю, тобто , де

Читати повністю

Метод Гаусса. Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться за два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми — прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід методу Гаусса: Нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Нехай (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на отримаємо:

Читати повністю

Розв'язок задачі лінійного програмування за симплекс методом

Ідея побудови розв'язку задачі лінійного програмування за симплекс методом полягає у переході від одного опорного плану до іншого, при якому значення цільової функції збільшується. Перехід до іншого опорного плану можливий лише в тому випадку, якщо відомо, деякий, початковий план.

Розглянемо задачу лінійного програмування виду:

при обмеженнях:

Дану задачу запишемо у векторній формі:

Читати повністю

Знаходження оптимального плану транспортної задачі методом потенціалів

Для знаходження оптимального плану транспортної задачі необхідно спочатку визначити опорний план перевезень з допомогою методу північно-західного кута чи методу мінімального елемента.

Теорема: Якщо Метод потенціалів — деякий опорнй план транспортної задачі, для якого виконуються наступні обмеження, а саме:

Метод потенціалівдля Метод потенціалів

Метод потенціалівдля Метод потенціалів

тоді даний опорний план є оптимальним. Метод потенціалів — називаються потенціалами пунктів відправлення та пунктів призначення.

Читати повністю

Метод мінімального елемента

Ідея методу мінімального елемента полягає в тому, що на кожному кроці заповнюють клітинку таблиці, яка має найменшу вартість перевезення одиниці продукції. Такі дії повторюють до тих пір, поки не буде розподілено всю продукцію між пунктами відправлення і пунктами призначення.

Читати повністю

Наступна сторінка »