Довжина кола і дуги кола

У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов'язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура — багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.

Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола — це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.

Довжина кола

Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників

Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює  та  відповідно. Впишемо в кожне з них правильний -кутник і позначимо через і їх периметри, а через і їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (), отримаємо:

Читати повністю

Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 і 11

Правила подільності або тести подільності мають широкий спектр застосувань в математиці. До прикладу, скориставшись даними правилами при розкладанні чисел на прості множники чи визначенні, чи є число простим чи складеним, можна значно спростити обчислювальний процес задач такого типу. Зазначимо, що опанувавши матеріал цього параграфа, Ви дізнаєтесь, як, не виконуючи операцію ділення, визначити, чи ділиться дане натуральне число націло на 2, 3, 4, 5, 8910 і 11.

  1. ознака подільності на 2: число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується парною цифрою, тобто однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

    Доведення покажемо на прикладі чотиризначного числа. Отже, нехай  — десяткова запис деякого числа , тобто  — цифра тисяч,  — цифра сотень,  — цифра десятків і  — цифра одиниць даного числа. Значить, . Нехай  ділиться на 2. Так як 1000, 100 і 10 діляться на 2, то за властивістю 4 подільності (міститься нижче) числа , і  також діляться на 2. Тоді за властивістю 2 подільності сума ділиться на 2 і за тією ж властивістю, число теж ділиться на 2. І навпаки, якщо  ділиться на 2, то з огляду на подільність на 2 доданків  і  маємо:  ділиться на 2 (по властивості подільності). Наприклад, число 2300574 діляться на 2, а 100001 не діляться. Абсолютно аналогічно доводяться наступні дві ознаки подільності;

Читати повністю

Наближене обчислення квадратних коренів

З уроків алгебри ми знаємо, що квадратним коренем із заданого числа називають таке число, квадрат якого дорівнює заданому числу. Наприклад, числа -5 і 5 є коренем з 25. Арифметичним квадратним коренем із заданого невід'ємного числа називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює заданому числу. Для нашого прикладу це буде число 5. Процес знаходження арифметичного квадратного кореня низивається визначенням або добуванням квадратного кореня.

Назва «корінь» і позначення кореня виникли ще в давнину. Так, в Індії його називали «мула» — корінь (дерева), початок, основа; араби — «джузр» — корінь, основа квадрата. В Європі використовували латинський аналог даного слова. Так з'явилася назва radix (по-латині «корінь»), звідси — радикал. Спочатку позначення кореня скоротили до , потім до букви . Вперше таке позначення використовував німецький математик Томас Рудольф. Далі буква  видозмінилася в знак . В подальшому, завдяки Рене Декарту, з'явився сучасний знак .

В математиці існує велика кількість методів для усного та письмового визначення квадратних коренів із чисела. Розглянемо декілька з них, і для початку зупинемося на способі що полягає у застосуванні таблиці квадратів двозначних чисел. Зазначимо, що з цим способом ми познайомилися ще на шкільних уроках математики. Спосіб дуже простий в застосуванні і дає миттєвий результат для квадратного кореня з будь-яких цілих чисел від 1 до 100 з точністю до десятих.

Читати повністю

Числа Фібоначчі: циклом і рекурсією

Числа Фібоначчі — лінійна послідовність натуральних чисел, де перше і друге дорівнюють нулю та одиниці, а кожне наступне — сумі двох попередніх: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 43, 55, ... Зазначимо, що ці числа були відомі в Індії ще у столітті. В Європі ж вони в такому вигляді вперше з'явилися в книзі Liber Abaci 1202 року (в перекладі з латинської — «Книга обчислень») за авторством Леонардо Пізанського, згодом прозваного Фібонначі. Значення цієї праці для європейської цивілізації переоцінити неможливо: він вперше знайомив західного читача з індо-арабськими цифрами і ставшими вже звичними для нас арифметичними методами. Одна з найвідоміших включених в неї задач — задача про розмноження кроликів.

Послідовність чисел Фібоначчі

Крім опису зростання приплоду тварин, числа Фібоначчі зустрічаються навіть в самій природі, і на подив доволі часто: це і пелюстки квітки, і спіралі соняшнику, ананаса або соснової шишки.

Читати повністю

Обчислення факторіала великих чисел

В математиці факторіал числа — це добуток всіх натуральних чисел, менших або рівних даному числу. Іншими словами це результат множення всіх чисел від одного до заданого числа. Наприклад, факторіал числа 7 обчислюється як . Факторіал має багато застосувань, особливо в комбінаториці або в задачах підрахунку, тому для написання математичних програм може знадобитися спосіб його обчислення. Якщо Ви працюєте з мовою програмування Java, то матеріал даного параграфу може бути для Вас корисним. Адже сьогодні нами, використовуючи клас BigInteger, буде розроблена Java-програма для обчислення факторіала будь-якого розміру.

Читати повністю

Знаходження головного центру графа (реалізація в середовищі Delphi)

В параграфі розглядається delphi-програма, основним призначенням якої є знаходження головного центру для побудованого користувачем графа. Для того, щоб запустити програму необхідно перейти в каталог де він збережений, знайти файл Project.exe і запустити його. Після запуску програми на екрані відображатиметься вікно наступного вигляду:

Головний центр графа delphi

Головне вікно проекту "Знаходження головного центру графа"

У верхній частині форми міститься панель інструментів (компонент типу TPanel). На панелі розташовується чотири кнопки (дві типу TSpeedButton та дві — TButton) зліва направо: «Додати вершину», «Додати ребро», «Видалити граф», «Знайти головний центр графа». Праворуч від кнопки «Додати ребро» міститься перемикач типу TCheckBox, який відповідає за тип створюваного ребра (якщо перемикач не включений, то програма пряцює в режимі «Розміщення орієнтованого ребра», і навпаки, якщо перемикач включений — в режмрі «Розміщення неорієнтованого ребра». Біла область (компонент типу TImage) називається робочою областю і використовується для візуалізації графа та відображення вершини, яка являється головним центром. Нижня частина форми (компонент типу TMemo) призначена для виводу результатів роботи програми.

Читати повністю

Знаходження головного центру графа

Головний центр грфа - це будь-яка його вершина, відстань від якої до найвіддаленішої точки на ребрах графа є мінімально. Зазначимо, що знаходження головного центру може бути корисно для задач розміщення підприємств, метою яких є мінімізація максимальної відстані яку повинен здолати їх праціник. Наприклад, розміщення станції обслуговування у вершині, яка являється головним центром побудованого для задачі графа, дає змого мінімізувати максимальну відстань, яку повинен здолати ремонтник до можливого місця поломки.

Розглянемо далі один із способів рішення задач на знаходження головного центру. Але, для початку, введемо деякі визначення, необхідні для опису точок на ребрах та деяких відстаней в графі.

Отже, припустимо, що розглядається деякий граф , множина якого містить вершини з номерами від одиниці до . Розглянемо довільне ребро даного графа, довжина якого дорівнює . Нехай  позначає точку на ребрі , яка для всіх віддалена на одиниць від вершини та на одиниць від вершини . Зазначимо, що дана точка називається -точкою.

Головний центр графа

Розміщення точки на ребрі графа

Таким чином, чверть-точкою ребра  є точка, віддалена від вершини  на довжини ребра . Нуль-точкою ребра  являється вершина , а одиничною - вершина . Отже, вершини графа також можуть розглядатися як точки його ребер. Точки ребер, які не є вершинами, називаються внутрішніми. Будь-яка точка ребра повинна бути або внутрішньою, або вершиною. Нехай через позначається множина всіх точок графа . Таким чином, різниця являється множиною всіх його внутрішніх точок.

Читати повністю

Наступна сторінка »