Знаходження нормального псевдорозв'язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде менше, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв'язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв'язку (псевдорозв'язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Читати повністю

Знаходження псевдообернеої матриці в середовищі програмування delphi

При вирішенні практичних завдань на знаходження розв'язку система лінійних алгебраїчних рівнянь, може виявитися, що система є несумісною. У цьому випадку за рішення системи приймається її нормальне псевдорішення, яке може бути знайдено за допомогою узагальненої оберненої матриці. Тобто перед нами постає дещо інша задача, яка полягає у знаходженні псевдооберненої матриці. Відмітимо, що виходячи з того, що данйий матеріал міститься в категорії Програми на delphi (Методи обчислень), то, очевидно, основна увага буде приділятись програмній реалізації рішення задач такого типу.

Читати повністю

Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  — квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати повністю

Чисельне інтегрування функції використовуючи метод Ромберга в середовищі програмування delphi

Delphi-проект призначений для обчислення значення визначеного інтеграла і використовує для цього алгоритм методу Ромберга. Відмітимо, що даний алгоритм в якості базової використовує формулу трапецій з рівномірним кроком, після чого, використовуючи спеціальний механізм, здійснюється послідовне уточнення значення інтеграла, при кратному збільшенні числа відрізків на які розбивається проміжок інтегрування (теоретична частина по методу Ромберга, а також застосування його для конкретного прикладу містяться за посилання Чисельне інтегрування функції використовуючи метод Ромберга).

Інтерфейс користувача програми практично не відрізняється від інших проектів, які реалізують процедуру обчислення визначеного інтеграла, тобто складається з панелі інструментів, області графічного представлення та області виводу результатів.

Головне вікно delphi-проекту Чисельне інтегрування методом Ромберга

Головне вікно delphi-проекту Чисельне інтегрування методом Ромберга

Після запуску проекту, від користувача вимагається у вигляді формули задати підінтегральну функцію, межі інтегрування, точність обчислювального процесу та кількість відрізків на які ділиться проміжок .

Читати повністю

Розв'язок однорідних систем лінійних рівнянь в середовищі програмування delphi

Система, що складається з лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими називається однорідною, якщо значення кожного з елементів стовпця її вільних членів дорівнює нулю. Найважливішою властивістю системи такого типу є те, що вона містить принаймі один розв'язок, тобто завжди сумісна. Дійсно, підставивши замість всіх невідомих нулі, обернено кожне з її рівняннь в тотожність. Таким чином, нульовий розв'язок, є розв'язком будь-якої однорідної системи.

Втім, більш важливим є випадок наявності у однорідної системи відмінних від нуля розв'язків, які, очевидно, будуть існувати тоді, коли матриця її коефіцієнтів є виродженою (визначник дорівнює нулю) або кількість її рівнянь менша за кількості невідомих. Більш детально розглядати інформацію про однорідні системи та процес знаходження їх загального розв'язку (фундаментальної системи рішень) тут не будемо, її можна знайти перейшовши за посиланням Знаходження розв'язку однорідної системи лінійних рівнянь, а перейдемо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний процес.

Отже, головне вікно розглядуваного delphi-проекту практично не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення задач такого типу, лише з однією відмінністю. Виходячи з того, що проект призначений для розв'язку однорідних системи, то вказувати значення стовпця вільних членів у відповідній таблиці TStringGrid не потрібно, вона по замовчуванню заповнюється нулями.

Читати повністю

Знаходження розв'язку однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів  даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв'язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв'язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо  — являється розв'язком системи (2) то , де  — довільна стала, також є розв'язком цієї системи; якщо і  — розв'язок системи (2), то сума  і  — також є розв'язком цієї системи.

Читати повністю

Чисельне інтегрування функції методом Ромберга

Перш ніж приступити до розгляду чергового методу чисельного інтегрування, нагадаємо, що інтеграл від функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і межами інтегрування . Відмітимо, що розглядувані на даному сайті методи (метод прямокутниківметод трапецій, метод Сімпсона), базуються на процедурі поділу відрізка  на елементарних частин, після чого, площа криволінійної трапеції обчислюється, як сума площ  прямокутників чи трапецеїдних фігур (в залежності від вибраного методу). Проте, результат отриманий згідно даних методів, сильно залежить від величини кроку (), що позначається на точності обчислення визначеного інтеграла особливо в тих випадках, коли функція має немонотонний характер.

Використання екстраполяції Річардсона, при інтегруванні відомими методами, дозволяє значно скоротити машинний час при незмінній точності результату (оскільки уточнення результату інтегрування не потребує додаткових обчислень функції). Застосування наведеної нижче методики до ітераційної формули трапецій складає розглядуваний метод Ромберга.

Далі, розглянемо основну суть екстраполяції Річардсона. Для цього, вибиремо деякий крок  і розрахуємо по формулі трапецій деяке значення інтеграла . Далі, крок  зменшимо удвічі, в результаті чого, отримаємо нове значення . Тоді, згідно з екстраполяцією Річардсона, розраховане значення інтеграла може бути уточнене за формулою:

Читати повністю

Наступна сторінка »