Логарифмічне диференціювання
Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.
Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція 
. Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:
Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що 
— це функція від 
:
Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:
Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження — логарифмічним диференціюванням.
Похідна параметрично заданої функції
Припустимо, що функція 
задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:
де 
допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.
Отже, припустимо, що функції 
і 
в деякій області зміни параметра мають похідні, причому 
. Крім того, будемо вважати, що функція має обернену функцію 
.
Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: 
, де — проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:
Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується 
(похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: 
.
Похідна неявно заданої функції
Якщо функція 
визначена співвідношенням 
то 
називають неявною функцією від 
.
Інколи рівняння (1) можна розв'язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв'язання рівняння (1) відносно неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.
Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:
- Продиференціювати по обидві частини рівності (1), при цьому розглядається як незалежна змінна, а є функцією від , тобто
, а 
— це шукана похідна. - Розв'язати отримане рівняння відносно .
Похідна неявно заданої функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну від функції 
, заданої неявно.
Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що є функцією від : 
. Розв'язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:
Диференціювання складної функції
Нехай дана функція 
і при цьому 
. Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді 
. Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна 
— проміжним аргументом.
Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції 
і 
— диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:
Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.
Похідна складної функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну функції 
.
Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом 
. Тому функцію можна подати у вигляді 
, де . Тоді, за формулою (1) маємо:
Правила диференціювання функцій і таблиця похідних
Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:
- Похідна постійної величини
дорівнює нулю: 
. - Якщо кожна з функцій
, 
, 
диференційовна в деякій точці 
, то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: 
. - Якщо функції і диференційовні в точці , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула:
.
Зауваження: якщо функція
, то 
, тобто постійна величина виноситься за знак похідної. - Якщо функції , диференційовні в точці , причому
, то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: 
.
Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція
), то 
; якщо знаменник дробу — постійна величина (функція 
), то 
.
Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:
Рівняння дотичної і нормалі до кривої
З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку 
з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює 
, має наступний вигляд: 
.
Дотична і нормаль до кривої
Дотична до кривої 
в точці 
має кутовий коефіцієнт 
. Отже, рівнянням дотичної буде:
Відзначимо, що коли дотична паралельна осі 
, то кут її нахилу 
з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді 
. Якщо дотична в точці паралельна осі 
,то 
і тоді 
.
Механічний і геометричний зміст похідної
Як відомо, похідною функції 
в точці 
називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:
тобто похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої 
в точці 
з додатним напрямком осі 
. Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.
Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної
Справді, оскільки 
є неперервною функцією кута 
, то 
при 
. Отже, кутовий коефіцієнт 
дотичної 
до кривої в точці 
можна обчислити за формулою:
Загрузка ...