Логарифмічне диференціювання
Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.
Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція . Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:
Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що — це функція від
:
Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:
Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження — логарифмічним диференціюванням.
Похідна параметрично заданої функції
Припустимо, що функція задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:
де допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.
Отже, припустимо, що функції і
в деякій області зміни параметра
мають похідні, причому
. Крім того, будемо вважати, що функція
має обернену функцію
.
Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію:
, де
— проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:
Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді:
.
Похідна неявно заданої функції
Якщо функція визначена співвідношенням
то
називають неявною функцією від
.
Інколи рівняння (1) можна розв'язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного
, але частіше розв'язання рівняння (1) відносно
неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.
Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:
- Продиференціювати по
обидві частини рівності (1), при цьому
розглядається як незалежна змінна, а
є функцією від
, тобто
, а
— це шукана похідна.
- Розв'язати отримане рівняння відносно
.
Похідна неявно заданої функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.
Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що
є функцією від
:
. Розв'язуючи отримане рівняння відносно
, отримаємо:
Диференціювання складної функції
Нехай дана функція і при цьому
. Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді
. Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна
— проміжним аргументом.
Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції і
— диференційовані, то складна функція
є також диференційованою, причому:
Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.
Похідна складної функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну функції .
Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді
, де
. Тоді, за формулою (1) маємо:
Правила диференціювання функцій і таблиця похідних
Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:
- Похідна постійної величини
дорівнює нулю:
.
- Якщо кожна з функцій
,
,
диференційовна в деякій точці
, то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних:
.
- Якщо функції
і
диференційовні в точці
, то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула:
.
Зауваження: якщо функція
, то
, тобто постійна величина виноситься за знак похідної.
- Якщо функції
,
диференційовні в точці
, причому
, то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою:
.
Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція
), то
; якщо знаменник дробу — постійна величина (функція
), то
.
Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:
Рівняння дотичної і нормалі до кривої
З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює
, має наступний вигляд:
.
Дотична і нормаль до кривої
Дотична до кривої в точці
має кутовий коефіцієнт
. Отже, рівнянням дотичної буде:
Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу
з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді
. Якщо дотична в точці
паралельна осі
,то
і тоді
.
Механічний і геометричний зміст похідної
Як відомо, похідною функції в точці
називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:
тобто похідна функції в точці
дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої
в точці
з додатним напрямком осі
. Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.
Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної
Справді, оскільки є неперервною функцією кута
, то
при
. Отже, кутовий коефіцієнт
дотичної
до кривої
в точці
можна обчислити за формулою: