Відшукання меж дійсних коренів алгебраїчного многочлена в середовищі програмування delphi

Основним призначенням розглядуваної в параграфі Delphi-програми є відшукання меж дійсних коренів алгебраїчного многочлена з дійсними коефіцієнтами.

Delphi-проект «Межі дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами»

Як видно з рисунка вище, інтерфейс програми простий та зрозумілий у використанні. Ліва частина форми містить область вхідних даних, яка складається з таблиці TStringGrid, у комірки якої, способом введення з клавіатури, записуються значення коефіцієнтів при невідомих многочлена. Праву частину форми займає компонент типу TChart, який відображає графік многочлена що досліджується. І, нарешті, в нижній частині форми розташована панель інструментів (складається з одного поля вибору типу TSpinEdit та двох кнопок типу TButton), за якою слідує область виводу результатів (компонент типу TMemo). Розглянемо призначення кожного з елементів панелі задач більш детально:

Читати повністю

Межі дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

Наближене обчислення кореня, будь-якого алгебраїчного рівняння, як правило, розпадається на дві задачі: відокремлення коренів, тобто визначення інтервалів, в кожному з яких міститься тільки один корінь рівняння; уточнення коренів, тобто обчислення його з заданим степенем точності. Прте, перш ніж відокремлювати корені, природно визначити межі області, в якій розташовані всі корені рівняння.

Межі дійсних коренів многочлена

В даному параграфі розглянемо один із способів відшукання цих меж, для випадку, коли алгебраїчне рівняння являється многочленом -ї степені:

Покажемо, спочатку, що для рівняння такого виду, достатньо вміти знаходити лише верхню межу його додатних коренів. Отже, нехай  — верхня межа додатних коренів рівняння (1). Тоді, якщо числа  будуть верхіми межами додатних коренів многочленів відповідно, то буде нижньою межею додатних коренів многочлена (1), а числа і служать нижньою і верхньою межами від'ємних коренів многочлена  відповідно. Таким чином, всі додатні корені  задовольняють нерівність , а від'ємні — нерівність .

Читати повністю

Правильне розфарбування вершин графа в середовищі програмування delphi

Під розфарбуванням графа розуміють окремий випадком розмітки його елементів. При цьому, елементам графа ставляться у відповідність мітки з урахуванням певних обмежень, де в якості міток, найчастіше, використовуються натуральні числа або кольори. В даному параграфі зосередимо увагу на delphi-програмні, що реалізує процесу розмальовки вершин графа, а якщо бути більш точним, то процесу розмальовки вершин, при якому будь-яким двом суміжним вершинам відповідають різні кольори. Відмітимо, що в теорії графів, саме таку операцію над вершинами графа і називають правильною розмальовкою вершин.

Отже, головна форма розробленого delphi-проекту складається з панелі інструментів, графічного редактора та області виводу резільтатів.

Головне вікно проекту "Розфарбування вершин графа"

  1. Панель інструментів (компонент типу TPanel): містить чотири кнопки: «Додати вершину» (типу TSpeedButton), «Додати ребро» (типу TSpeedButton), «Видалити граф» (типу TButton) та «Знайти правильне розфарбування графа» (типу TButton). Відмітимо, що серед зазначених кнопок, три відповідають за процес побудови та видалення графа і четверта — реалізує процес розфарбування його вершин (відмітимо, що для реалізації задуманого використовується переборний алгоритм).
  2. Графічний редактор (компонент типу TImage): призначений для побудови та візуалізації неорієнтованого графа, а також візуалізації правильного розфарбування його вершин.
  3. Область виводу результатів (компонент типу TMemo): призначена для виводу мінімального числа кольорів, необхідних для правильного розфарбування графа.

Читати повністю

Периметр і площа трикутника

Трикутник — це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: .

В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: . Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедренним, то формула може бути записана у вигляді: , де  — бічні сторони трикутника і  — основа.

Зауваження: якщо скористатись позначеннями , то формули для обчислення периметра різносторонноього, рівнобедренного та рівностороннього трикутників перепишуться як  відповідно.

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник і його висоту . Покажемо, що .

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти

Для цього, через вершини і трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам  і відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці . Чотирикутник  — паралелограм за означенням. Трикутники  і рівні ( та , як протилежні сторони паралелограма і  — спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма . Висота  трикутника  є також висотою паралелограма . Звідси, .

Читати повністю

Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника

Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки — його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де  — вершини трикутника, і відрізки  — його сторони.

Зображення різностороннього трикутника

Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.

Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.

Читати повністю

Квадрат. Означення квадрата та його властивості

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні. На рисунку що міститься нижче, зображено квадрат діагоналі якого перетинаються в точці (діагональ квадрата — це відрізок, що з'єднує протилежні кути квадрата і проходить через його центр).

Властивості квадрата

Зображення квадрата та його діагоналей

З наведеного означення випливає, що квадрат — це ромб, у якого всі кути рівні. Отже, квадрат є окремим видом і ромба і прямокутника. Тому квадрат має всі властивості цих геометричних фігур. Звідси випливає, що: сторони квадрата рівні; усі кути квадрата прямі; діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні та є бісектрисами його кутів і, крім того, діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.

Зауваження: перераховані властивості квадрата являються основними признаками, за якими можна легко його розпізнати серед прямокутників, ромбів та інших чотирикутників.

Читати повністю

Площа та периметр прямокутника

Прямокутник — плоска геометрична фігура у вигляді чотирикутника, протилежні сторони якого не тільки паралельні, але і рівні, а всі чотири кута прямі. Для того, щоб знайти периметр прямокутника необхідно обчислити суму довжин кожної з його сторін. Тобто, для прямокутника зображеного на рисунку нище, будемо мати: , де  — периметр прямокутника.

Зображення прямокутника

Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника , отримаємо .

Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами та відповідно, то формула периметра прямокутника перепишеться у більш звичній буквенній формі: .

Читати повністю

Наступна сторінка »