Знаходження простих чисел використовуючи решето Ератосфена

Просте число — натуральне ціле додатне число, що має рівно два різних натуральних дільники — одиницю і самого себе. Іншими словами, число є простим, якщо воно більше одиниці і при цьому ділиться без залишку тільки на 1 та на . Наприклад, 3 — просте число, а число 6 ні — крім 1 та 6, також ділиться на 2 і на 3.

Таблиця простих чисел до 1000

Натуральні числа, які являються більшими одиниці і не є простими, називаються складеними. Таким чином, всі натуральні числа розбиваються на три класи: одиницю (має один натуральний дільник), прості числа (мають два натуральних дільники) і складені числа (мають більше двох натуральних дільників).

Читати повністю

Знаходження центру графа (реалізація в середовищі Delphi)

Програма створена в середовищі програмування Delphi і реалізує процес знаходження однієї з основних числових характеристик графа, а саме його центр. Зазначимо, що безсумнівною перевагою цієї програми перед іншими є те, що вона може застосовуватися не тільки в якості прикладного пакета, але і з великим успіхом використовуватися в якості навчальної програми. Також хочеться зауважити, що delphi-програмі притаманний досить зручний і інтуїтивно зрозумілий користувацький інтерфейс, який виявиться доступним навіть для користувачів, що не знайомі з основами програмування. Крім того є поетапна візуалізація, як самої побудови графа, так і процесу знаходження його центру.

Для того, щоб запустити програму необхідно перейти в каталог де він збережений, знайти файл Project.exe і запустити його. Після запуску програми на екрані буде відображено вікно наступного вигляду:

Головне вікно проекту "Знаходження центру графа"

У верхній частині форми розташовується панель інструментів. На панелі розташовується чотири кнопки (дві типу TSpeedButton та дві — TButton) зліва направо: «Додати вершину», «Додати ребро», «Видалити граф», «Знайти центр графа». Праворуч від кнопки «Додати ребро» міститься перемикач типу TCheckBox, який відповідає за тип створюваного ребра (якщо перемикач не включений, то програма пряцює в режимі «Розміщення орієнтованого ребра», і навпаки, якщо перемикач включений — в режмрі «Розміщення неорієнтованого ребра». Біла область (компонент типу TImage) називається робочою областю і використовується для візуалізації графа та відображення вершини, яка являється центральною. Нижня частина форми (компонент типу TMemo) призначена для виводу результатів роботи програми.

Читати повністю

Знаходження найбільшого спільного дільника за алгоритмом Евкліда

Кожен дільник натурального числа  не може бути більшим самого числа , тому число  має скінченне число дільників, які не перевищують .

Серед дільників чисел і  можуть бути однакові, тобто спільні дільники. Очевидно, їх кількість так само є скінченною. Наприклад, числа 30 і 70 мають чотири спільних дільники: 1, 2, 5 і 10. Серед цих дільників є найбільший (в даному випадку 10), його називають найбільшим спільним дільником (НСД) і позначають .

Отже, найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел називається найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з цих чисел без залишку. З даного означення випливає, що для того, щоб знайти НСД двох чисел і , на першому кроці, необхідно знайти всі додатні дільники числа і всі додатні дільники числа . Далі, необхідно вибрати всі числа, що входять в обидві множини, та визначити найбільше серед них. Воно і буде найбільшим спільним дільником.

Читати повністю

Застосування елементів теорії графів для рішення задачі розміщення пунктів обслуговування

Задачі розміщення пов'язані з вирішенням проблем оптимального розташування у певних регіонах пунктів обслуговування, таких як: торговельні центри, станції техобслуговування, автозаправні станції, пости пожежної охорони, лікарні, туристичні центри, склади, пошти, готелі і тому подібне. Математична структура таких задач визначається конфігурацією області припустимих точок розміщення і способом оцінки якості розміщення. Внаслідок цього існує багато різноманітних задач розміщення, що стосуються різних сфер знань і у технічній літературі пропонується чимало методів їх розв'язання.

Для того, щоб формулювати і розв'язувати задачі про розміщення, необхідно ввести нові поняття теорії графів:

  1. центром графа називається будь-яка його вершина, відстань від якої до найвіддаленішої від неї вершини є мінімальною.
  2. головним центром графа називається будь-яка його вершина, відстань від якої до найвіддаленішої точки на ребрах графа є мінімальною.
  3. абсолютним центром графа називається будь-яка точка на ребрі, відстань від якої до найвіддаленішої вершини графа є мінімальною.
  4. головним абсолютним центром графа називається будь-яка точка, відстань від якої до найвіддаленішої точки є мінімальною.
  5. медіаною графа називається точка, в якій сума відстаней до усіх вершин графа є мінімальною (аналогічно центрам можна ввести поняття головної, абсолютної і головної абсолютної медіани).

При розв'язанні задач на знаходження розміщення центрів обслуговування слід домовитися про область, у якій їх можна розміщувати. Обмежимося тільки тими задачами, для яких областю припустимих точок розміщення центрів обслуговування є деякий граф. Центри, в даному випадку, можуть розташовуватися тільки у вершинах та ребрах графа і ніде більше.

Читати повністю

Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта

Розглядаючи означення квадратного рівняння ми також познайомились з універсальним алгоритмом рішення рівнянь такого типу через дискримінант. Проте, в математиці існують і інші спеціальні прийоми, за якими багато квадратних рівнянь розв'язуються дуже швидко і без всяких дискримінантів. Саме розгляду одного з таких прийомів, а саме теоремі Вієта, і буде присвячений даний параграф.

Отже, для початку, введемо нове означення: квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду . Зрозуміло, що будь-яке рівняняя можна зробити зведеним, для цього достатньо розділити всі його коефіцієнти на число . Зробити це можна завжди, адже, за означенням квадратного рівняння, .

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої, власне, і вводилося поняття зведеного квадратного рівняння: нехай для рівняння коренями являються числа  і (допускається і випадок коли ). Тоді, слідуючи з теореми, справедливими являються настуні формули (формули Вієта):

Читати повністю

Властивості та сума членів геометричної прогресії

Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов'язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге — у знаходженні суму  членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою ), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.

  1. Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени і будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо: . Звідси, . Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати , що і треба було довести.

  2. У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на -му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має  членів, перебувають члени  і відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати: . Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить  членів. Отже, позначивши цю суму через , запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:

Читати повністю

Означення та формула обчислення загального члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називається така послідовність чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме, задане для даної послідовності, число , яке називається знаменником геометричної прогресії (передбачається, що ).

Якщо число членів прогресії скінченне, то вона називається скінченною геометричною прогресією. В іншому випадку вона називається нескінченною. Наведемо приклади нескінченних геометричних прогресій:

  1.  — знакододатна, монотонно зростаюча геометрична прогресія.
  2.  — знакозмінна геометрична прогресія ( являється меншим нуля).

Абсолютна величина членів другої з наведених вище прогресій, в силу того, що , спадає. У зв'язку з цим прикладом введемо означення: геометрична прогресія називається спадною, якщо , тобто, якщо її члени зменшуються по модулю (зауважимо, що при , як в розібраному прикладі, самі члени прогресії поперемінно змінюють знак і спадної послідовності не утворюють, хоча ми і називаємо прогресію спадною).

Читати повністю

Наступна сторінка »