Розв’язання систем лінійних рівнянь онлайн

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) виникають при рішенні ряду прикладних задач, що описуються диференціальними, інтегральними чи системами нелінійних (трансцендентних) рівнянь.

Вони можуть з’являтися також у задачах математичного програмування, статистичної обробки даних, апроксимації функцій, при дискретизації крайових диференціальних задач методом кінцевих різниць або методом кінцевих елементів.

Точні методи розв’язання СЛАР

Методи розв’язування систем лінійних рівнянь можна поділити на дві групи.

До першої відносяться точні методи. За допомогою таких методів, в принципі, можна внаслідок скінченного числа кроків отримати точні значення невідомих. При цьому припускається, що і коефіцієнти у правій частині, і елементи стовпця вільних членів – числа точні, а всі обчислення здійснюються без округлень.

Однак практично таке може статися у виняткових випадках або може бути пов’язане з вирішенням спеціального класу задач (наприклад, коли рішеннями є лише цілі числа). До подібних методів належать:

Зазначимо, що практичне застосування перших двох методів може бути неефективним чи взагалі неможливим.

Якщо спробувати розв’язати систему 20 лінійних рівнянь з 20 невідомими за допомогою формул Крамера, то доведеться обчислити 21 визначник порядку 20, що приведе до виконання приблизно 138879579704209679979 множень та додавань.

Для виконання цих обчислень на ЕОМ із швидкодією 10^15 арифметичних операцій на секунду потрібно приблизно 38 годин безперервної роботи.

З практичної точки зору, при досить великих розмірах системи матричне рішення також є малопривабливим, оскільки задача знаходження оберненої матриці сама по собі не простіша задачі розв’язання СЛАР.

Наближені методи розв’язання СЛАР

До другої групи методів рішення систем лінійних рівнянь відносяться ітераційні методи (також відомі як наближені методи розв’язання СЛАР).

Основна ідея чисельних методів такого типу заснована на використанні циклічного процесу, в якому більша частина виконуваних обчислювальних операцій, в більшості випадків, виконується без округлень.

Такі методи дозволяють отримати значення невідомих членів вектора із заздалегідь заданою точністю, і виходячи з цього, активно застосовуються для розв’язання СЛАР основна матриця яких має високу розмірність.

До відомих ітераційних методів відносяться:

Також, доволі часто зустрічається такзваний проміжний клас методів, в яких рішення шукається ітераційно, однак для них заздалегідь відомо, яке число ітерацій необхідно виконати, щоб у відсутності помилок округлення отримати точний розв’язок.

На практиці при обчисленні наближеного розв’язку число ітерпцій в найбільш ефективних методах виявляється значно менше, ніж цього вимагає теорія точного розв’язку. Тому який клас методів кращий? Однозначно на це питання відповісти не можна.

Наближені методи привабливіші з погляду об’єму обчислень та необхідної пам’яті, в тому випадку, коли необхідно знайти рішення систем з матрицями великих розмірностей.

При невеликих розмірностях, зазвичай, використовують прямі методи або методи в поєднанні з ітераційними.

Розв’язання систем лінійних рівнянь онлайн

Скориставшись онлайн калькулятором «Розв’язання систем лінійних рівнянь», Ви отримаєте детальне рішення будь-якої системи (розмірності, що не перевищує 8),  яке дозволить зрозуміти алгоритм використовуваного методу, а також закріпити теоретичний матеріал.

Для розв’язання СЛАР, для початку, необхідно вибрати кількість невідомих і рівнянь системи (поле вибору «Введіть розмірність матриці») та натиснути кнопку «Змінити».

Система лінійних рівнянь калькулятор, система лінійних рівнянь онлайн калькулятор, калькулятор слар

Після цього, способом введення з клавіатури, заповнити комірки розширеної матриці значеннями коефіцієнтів при невідомих і стовпця вільних членів.

Система лінійних рівнянь калькулятор, система лінійних рівнянь онлайн калькулятор, калькулятор слар

Далі, натиснувши кнопку «Розв’язати систему рівнянь» отримати розв’язання СЛАР.

Система лінійних рівнянь калькулятор, система лінійних рівнянь онлайн калькулятор, калькулятор слар

Відмітимо, що даний онлайн калькуляторі дає можлівість знайти розв’язок системи будь-яким з перерахованих нижче методів:

Введення даних у калькулятор для розв’язання систем лінійних рівнянь

В онлайн калькулятор можна вводити ціла числа або числа з плаваючою крапкою.

Для зміни в рівнянні знаків з «+» на «-» вводьте від’ємні числа.

Якщо у рівнянні системи що розглядається відсутня змінна, то на її місці в калькуляторі вводиться нуль.

Якщо у рівнянні системи що розглядається відсутній коефіцієнт при невідомій, то на його місці в калькуляторі вводиться одиниця.

Зауваження: онлайн калькулятор слар працює у тестовому режимі. Побажання та зауваження будь-ласка пишіть на mathros@ukr.net.